0 前言
通过在线调节进给速率实现切削过程的自适应恒力控制是大幅度提高数控铣床生产率的有效途径，也是众多学者多年来一直潜心研究的课题。然而，在前人所提出的各类自适应恒力控制算法中，控制器的参数整定通常仅依赖于被控系统过去和当前的动力学行为，而未考虑控制输入和系统输出前景的影响，且未对控制器施加合理的约束条件。因此，当因切深或切宽突变而诱发铣削力突变时，通常会导致被控系统输出超调或控制输入过大。
为克服上述问题，本文针对数控铣削过程的特点，研究构造有约束广义预测控制律的方法，并据此提出一种控制器参数整定解析算法。仿真和试验结果表明，该方法具有工程实用性强，鲁棒性好及可满足实时控制要求的优点。
1 无约束广义预测控制律设计
1.1 系统模型
如图1所示的数控铣削过程恒力控制系统由控制器和铣削过程组成。其中，伺服进给与铣削加工两部分串接构成铣削过程。图中vf为进给速度，F为实际铣削力，Fr为参考铣削力。
综合考虑伺服系统动态特性和刀具变形等因素，瞬态铣削过程可简化为一二阶线性系统
A(z-1)f(t)=B(z-1)vf(t-1)
(1)
式中 A，B——向后传递算子z-1的多项式，且
A(z-1)=1+a1z-1+a2z-2
B(z-1)=b0+b1z-1系数a1、a2、b0和b1可用递推最小二乘法估计。
1.2 无约束广义预测控制律设计
首先利用恒等式PjAΔ+z-jQj=1和PjB=Rj+z-jRj得到式(1)输出的j步预测
(2)
及输入、输出的已知部分
(3)
式中 Pj，Qj，Rj， src="http://www.cutinfo.cn/images/t0501.gif" width="19" height="20" (148 bytes)">——为向后传递算子z-1的多项式，无物理意义
然后取如下预测广义最小方差作为性能指标函数
(4)
式中 ρ——权函数
N——输出预测前景
Nv——控制前景
假设在Nv步后，进给速度增量为零，即Δvf(t+j-1)=0，j>Nv，可得到控制器的最优控制增量序列
(5)
式中 Δvf=［Δvf(t) Δvf(t+1)…
Δvf(t+Nv-1)]T
Fr=［Fr(t+1) Fr(t+2)…
Fr(t+Nv-1)]T
令g表示(RTR+ρI)-1的第一列，则当前时刻的控制输出应为
(6)
理论分析及仿真表明，当Nv=2时可保证闭环系统的稳定性；取N=5及ρ=80可得到优质的闭环性能。
2 约束条件
工程实践表明，数控铣削过程恒力控制需考虑如下约束：①进给速度应在机床设计范围内且保证铣削力小于机床—刀具—工件系统的极限允荷。②进给速度增量应小于各坐标的加减速极限，且在刀具空切时应限制增量上限以免切入时因铣削力过大造成刀具破损。③当实际铣削力大于设定值时，应尽快降低进给速度。④应有效地控制铣削力超调以避免刀具变形对表面质量的影响。综上所述，数控铣削过程的恒力控制需对进给速度及其增量、实际铣削力上升时间和超调施加约束。
2.1 进给速度约束
设在控制前景内的进给速度vf(t+j-1),j=1,…，Nv的上、下限值为vf0和vf1，由
可导出增量形式的进给速度约束条件
j=1，…，Nv
写成矢量形式有
LΔvf≤vf1及-LΔvf≤-vf0 (7)
式中 L——元素为1的Nv×Nv下三角矩阵
vf0=［vf0-vf(t-1)…vf0-vf(t-1)]T
vf1=［vf1-vf(t-1)…vf1-vf(t-1)]T
2.2 进给速度增量约束
令进给速度增量Δvf(t+j-1)，j=1,…，Nv的上、下限为Δvf0和Δvf1，可得进给速度增量的约束条件
Δvf0≤Δvf(t+j-1)≤Δvf1 j=1,…,Nv
表示成矢量形式为
Δvf≤Δvf1及-Δvf≤-Δvf0
(8)
式中 Δvf0=［Δvf0，…，Δvf0]T
Δvf1=［Δvf1，…，Δvf1]T
2.3 瞬时铣削力上升时间约束
若当前铣削力F(t)大于设定值Fr且限定下降时间为td，则对于给定的控制周期T可计算出所需周期数kd=td/T。相应的约束条件可表示为F(t+j)≤Fr，j=kd，…，N。由式(2)可导出相应的约束条件为
或写成矢量形式
(9)
式中 Rd——表示由矩阵R的kd到N行构成的(N-kd+1)×Nv子阵
同理，若当前铣削力小于设定值，且限定上升时间为tu，相应的控制周期数为ku=tu/T，则约束条件可表达
(10)
式中 Rv——表示由矩阵R的ku到N行构成的(N-ku+1)×Nv子阵
2.4 瞬时铣削力超调
若当前铣削力F(t)小于设定值Fr，可用F(t+j)≤Fr，j=1，…，N避免超调。由式(2)可将约束条件写成矢量形式
(11)
同理，若当前铣削力大于设定值，则相应约束条件应该写为
(12)
3 有约束广义预测控制律设计
3.1 性能指标
综合性能指标函数式(4)与约束条件式(7)～式(12)，铣削过程有约束广义预测恒力控制律设计可归结为求解如下二次规划(QP)问题
(13)
DΔvf≤c (14)
式中 H=RTR+ρI
D=［L-L I-I(Rd，-Ru)T(-R,R)T］T
D——k×Nv矩阵
c——k维矢量
k=2(N+Nv)-(kd，ku)+1
当F(t)>Fr时，(，)内的值取前项，否则取后项。
3.2 解析算法
由式(13)知，性能指标函数一般为优化空间(ΔvT，J)∈RNv+1中的超曲面。注意到控制前景为Nv=2，故求解QP问题可在三维空间中进行。此时因Δv的分量为Δvf(t)和Δvf(t+1)，故由式(14)知第i个约束条件可表示为
d1iΔv(t)+d2iΔv(t+1)≤ci (15)
在实际控制问题中，因Δvf(t)和Δvf(t+1)仅在由二者张成平面的第Ⅰ象限(F(t)r)和第Ⅲ象限(F(t)>Fr)，故可定义如下两类约束条件：
定义：若约束条件与坐标轴构成闭域或与坐标轴构成一带状区域，则称为第一类约束条件；否则称为第二类约束条件。
设两类约束条件数分别为k′和k-k′，则由上述定义和图2知，无约束极小值点的位置存在三种情况：①极小值点在可行域内，无约束解即为有约束解。②不满足第一类约束条件pi(i=1,…，k′)。③不满足第二类约束条件p′j(j=k′+1,…，k)。据此，可构造有约束广义预测控制律解析解法。
当性能指标函数的无约束极小值点在可行域内时，任一平行于J轴的平面Γ的方程为
γ′0+γ′1Δvf(t)+γ′2Δvf(t+1)=0
故有
因此
显然，性能指标函数与Γ的交线满足如下抛物线方程
注意到，故进给速度的解析解答为
若性能指标函数的无约束极小值点在可行域之外，注意到平面Γ通过无约束极小值点(线)并与可行域相交，且平面Γ与性能指标函数J的交线JΓ在极小点任一侧是单调上升的，故有约束极小点必为Γ与可行域边界的交点。据此，可经求交运算和比较交点坐标获得约束条件边界，然后在约束边界上用解析法求得进给速度的解析解答。
计算机仿真表明，与无约束控制策略相比，闭环系统的性能可得到显著改善，且算法可满足实时控制要求。
4 切削试验
切削试验设备为Cincinatti H1000卧式加工中心，控制器为DSPmaster-C50信号处理板。试验过程中，安装在主轴末端的光电编码器提供每转1024脉冲作为DSP板的外部时钟以保持采样周期与主轴转速同步。由KISTLER测力仪拾取的切削力信号经电荷放大滤波后由DSP板按有效值合成，并按前述算法计算控制指令。控制指令经光隔功放输入给数控系统内置PLC，并通过改写进给倍率寄存器实时调节进给速度(见图3)。此种接口方案的优点是仅需变更PLC程序而无需改变CNC硬件。设定两次测得有效力信号后，估计器和控制器开始工作。
试验条件如下。
刀具：直径24 mm三齿高速钢螺旋棒铣刀，螺旋角30°。
工件：Q235优质碳素钢(几何尺寸见图4)。
切削条件：主轴转速300 r/min，径向切深4 mm，轴向切深分别为15 mm、20 mm、25 mm和30 mm四挡，切削长度分别为50 mm、40 mm、30 mm和20 mm四挡，逆铣，油冷。 控制器参数设定：铣削力设定值400 N，CNC编程速度40 mm/min，进给倍率最小值和最大值按数控系统原值设定，分别为0和120%，每挡间距为4%。控制指令取整使用舍去小数点方法，以保证稳态铣削力小于设定值。控制器预选参数取值为Nv=2、N=5和ρ=80，控制效果如图5。
由试验结果可见，在空切阶段由于铣削力为零，进给速度迅速上升至设定上限，即40×120%=48mm/min。当进入切削后，由于铣削力大于设定值，控制器调节进给速度，使得铣削力很快跟踪设定值。由于进给速度分挡造成铣削力不是精确等于设定值，但在整个切削过程当中，稳态铣削力始终小于设定值，达到了预期的控制效果。当轴向切深为30mm时，进给速度达到设定下限，即40×36%=14.4 mm/min。
图6示出了切削条件不变既不实施恒力控制，当CNC编程进给速度为40
mm/min，进给倍率为36%时的铣削力结果。由图可见，最大铣削力约为400N，即等于恒力铣削中的铣削力设定值。然而，若不记空切阶段，普通铣削大约用时620s，而恒力铣削仅用时380s，可见铣削效率的提高是非常显著的。
5 结论
本文研究数控铣削过程的有约束广义预测控制方法，得到如下结论：
广义预测控制因计入被控系统输入、输出前景的影响，故稳定性和输出性能优良，且算法结构适合包含约束条件。
针对数控铣削过程的特点提出的四种约束条件可显著改善被控系统的输出性能。
所提出的有约束广义预测控制律解析算法可满足数控铣削恒力控制的实时性要求。
